Terme zusammenfassen

Gleichartige Terme zusammenfassen - 3 Äpfel und 4 Äpfel sind 7 Äpfel

Stimmen zwei Terme in allen Variablen (Buchstaben) überein, bezeichnet man sie als gleichartig. Gleichartige Terme unterscheiden sich also nur in ihrem Zahlenfaktor, dem sogenannten Koeffizienten. Sie werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert. Ebenso werden sie subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten subtrahiert.

Gleichartig sind: addieren subtrahieren
\(4\color{red}{pq}\) und \(2\color{red}{pq}\) \(4\color{red}{pq}+2\color{red}{pq} = 6\color{red}{pq}\) \(4\color{red}{pq}-2\color{red}{pq} = 2\color{red}{pq}\)
\(3,5\color{blue}{xyz}\) und \(\color{blue}{x}5\color{blue}{yz}\) \(3,5\color{blue}{xyz} + \color{blue}{x}5\color{blue}{yz} = 3,5\color{blue}{xyz} + 5\color{blue}{xyz} = 8,5\color{blue}{xyz}\) \(3,5\color{blue}{xyz}-5\color{blue}{xyz}= -1,5\color{blue}{xyz}\)
\(6\color{red}{a^2b}\) und \({1\over 2}\color{red}{a^2b}\) \(6\color{red}{a^2b} + {1\over 2}\color{red}{a^2b} = 6{1 \over 2}\color{red}{a^2b}\) \(6\color{red}{a^2b}- {1\over 2}\color{red}{a^2b} = 5{1 \over 2}\color{red}{a^2b}\)

Aufgabe 1

Vereinfache, indem du zusammenfasst.










Aufgabe 2

Vereinfache, indem du gleichartige Terme zusammenfasst.











Produktterme vereinfachen - hier wird nur multipliziert

Wie du weißt, ist in allen Zahlbereichen, die du kennst, die Reihenfolge der Faktoren in einer Multiplikationsaufgabe beliebig. Beispielsweise haben die Rechnungen \(3 \cdot 5\) und \(5 \cdot 3\) dasselbe Ergebnis – nämlich \(15\). Um gleichartige Terme schneller erkennen zu können, lohnt es sich, sie zu vereinfachen, indem man sie sortiert. Dabei geht man am besten wie folgt vor:

  1. Den Zahlenfaktor notiert man ganz vorne,
  2. zudem sortiert man die Variablen nach Alphabet und
  3. fasst gleiche Variablen zu einer Potenz zusammen.

Beispiele:

\(r \cdot a \cdot b \cdot e = a \cdot b \cdot e \cdot r = aber\)

\(a \cdot n \cdot n \cdot a = a^2 \cdot n^2 = a^2n^2\)

\(2 \cdot i \cdot 3 \cdot s \cdot 4 \cdot e = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot e \cdot i \cdot s = 24\; eis\)

\(2 \cdot b \cdot (-1) \cdot a \cdot r \cdot 2 \cdot b \cdot 3 \cdot a \cdot r \cdot a= 2 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot b^2 \cdot r^2 = -12 \; a^3b^2r^2\)

Aufgabe 1

Vereinfache die folgenden Terme.











Aufgabe 2

Vereinfache die folgenden Terme.











Vereinfachen von Termen - jetzt wird auch addiert, subtrahiert und dividiert

Die Variablen sind Platzhalter für Zahlen. Deshalb müssen die für die Zahlen bekannten Rechengesetze und Vorrangregeln auch für den Umgang mit Termen gelten.

Beachtet werden müssen also:

  • Das Kommutativgesetz der Addition: \(a+b=b+a\)

  • Das Kommutativgesetz der Multiplikaiton: \(a \cdot b = b \cdot a\)

  • Das Assoziativgesetz der Addition: \((a+b) + c = a+ (b+c)\)

  • Das Assoziativgesetz der Multiplikaiton: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

  • Das Distributivgesetz: \((a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)

Klammer > Potenz > Punkt- > Strichrechnung

  1. Zuerst werden Ausdrücke in Klammern berechnet bzw. zusammengefasst. \[ 3 \cdot (2a+5a) = 3 \cdot 7a = 21 a \]

  2. Potenzrechnung muss vor Punkt- und Strichrechnung beachtet werden. \[\begin{align} & 8b^2 + 2\cdot (4b)^2 = \\ = & 8b^2 + 2 \cdot 16b^2 = \\ = & 8b^2 + 32b^2= 40b^2 \end{align}\]

  3. Punktrechnung geht vor Strichrechnung. \[2c^3 + 4c^2 \cdot 3c = 2c^3 + 12c^3=14c^3\]

  4. Sonst rechnet man von links nach rechts. \[10x^5- 2x^5 +4x^5 = 8x^5 + 4x^5 = 12x^5 \]

Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, kann die Klammer einfach weggelassen werden. \[3x + (2 - 4y) = 3x + 2 - 4y\]

Steht vor einer Klammer ein Minuszeichen, werden Klammer und Minuszeichen weggelassen und alle Rechenzeichen in der Klammer umgekehrt.

(Beachte: Pluszeichen werden nicht als Vorzeichen notiert, sind also direkt hinter der öffnenden Klammer “unsichtbar”)

\[A) \quad \begin{align} &3x - (2 - 4y) = \\ = & 3x - (+2 - 4y) =\\ = & 3x \quad -2 + 4y \end{align}\]

\[B) \quad \begin{align} &3x - (- 2 + 4y) = \\ = & 3x \quad +2 - 4y \end{align}\]

Aufgabe 1

Vereinfache die folgenden Terme. Eventuell musst du zunächst Produktterme vereinfachen, um gleichartige Terme zu finden.











Aufgabe 2

Vereinfache die folgenden Terme. Beachte die Vorrangregeln!










Aufgabe 3

Vereinfache die folgenden Terme. Beachte die Vorrangregeln!







Ausmultiplizieren von Klammern

Wird eine Summe mit einem Faktor multipliziert, so muss jeder Summand mit diesem Faktor multipliziert werden. Auf diese Weise kann mit Hilfe des Distributivgesetzes die Klammer bei einem Produkt aus einem Faktor und einer Summe aufgelöst werden.

\[\color{red}{a} \cdot (b+c) = \color{red}{a} \cdot b + \color{red}{a} \cdot c\] \[\color{red}{a} \cdot (b-c) = \color{red}{a} \cdot b - \color{red}{a} \cdot c\]

Natürlich kann der Faktor auch hinter der Klammer stehen. Wenn dich das stört: Du darfst den Faktor und die Klammer vertauschen (Kommutativgesetz der Multiplikation)!

\[ (b+c) \cdot \color{blue}{a} = b \cdot \color{blue}{a} + c \cdot \color{blue}{a}\]

Aufgabe 1

Löse die Klammer auf, indem du ausmultiplizierst.










Aufgabe 2

Löse die Klammer auf, indem du ausmultiplizierst oder vereinfachst.










Ausdividieren von Klammern

Wird eine Summe durch einen Divisor dividiert, so muss jeder Summand durch diesen Divisor dividiert werden. \[ (b+c) : \color{blue}{a} = b : \color{blue}{a} + c : \color{blue}{a}\]

Dass das aber nur eine spezielle Schreibweise des Ausmultiplizierens ist - und damit eigentlich keinen eigenen Abschnitt wert ist - wird sofort klar, wenn man sich erinnert, dass es “durch \(a\) dividieren” das Gleiche ist wie “mal \(1 \over a\) nehmen”.

Man kann also genauso gut schreiben: \[ (b+c) : \color{blue}{a} = (b+c) \cdot {1 \over \color{blue}{a}} = b \cdot {1 \over \color{blue}{a}} + c \cdot {1 \over \color{blue}{a}}\]

Aufgabe










Ausklammern von Faktoren

Wenn die Summanden einer Summe gleiche Faktoren besitzen, können diese ausgeklammert werden. Denn es gilt: \(a\cdot b + a \cdot c = a\cdot (b+c)\) (Distributivgesetz).

Das Ziel ist es also größtmögliche gemeinsame Faktoren der Summanden zu finden. Hier hilft es, wenn man noch ein bisschen Übung im Kopfrechnen hat….

Beispiele: \[15x + 40y = \color{blue}{5}\cdot 3\cdot x + \color{blue}{5} \cdot 8 \cdot y= \color{blue}{5} \cdot (3x + 8y)\] \[34a^2b - 51ab^2= 2 \cdot \color{red}{17 \cdot a} \cdot a \cdot \color{red}{b} - 3 \cdot \color{red}{17 \cdot a \cdot b} \cdot b =\color{red}{17ab} \cdot (2a-3b)\]

Aufgabe 1

Um Faktoren, die man ausklammern kann, schnell erkennen zu können, hilft es, wenn man Übung darin hat, Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen.

Hier ein Beispiel: \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)
















Aufgabe 2

Schreibe die Summe als Produkt, indem du den größtmöglichen gemeinsamen Faktor ausklammerst.










Aufgabe 3

Schreibe die Summe als Produkt, indem du den größtmöglichen gemeinsamen Faktor ausklammerst.










Multiplizieren von zwei Summen

Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert und die Produkte addiert.

\[({\color{red}a} + {\color{red}b}) \cdot ({\color{blue}c} + {\color{blue}d}) = {\color{red}a} \cdot ({\color{blue}c} + {\color{blue}d}) + {\color{red}b} \cdot ({\color{blue}c} + {\color{blue}d})= {\color{red}a} \cdot {\color{blue}c} + {\color{red}a} \cdot {\color{blue}d} + {\color{red}b} \cdot {\color{blue}c} + {\color{red}b} \cdot {\color{blue}d}\]

\[(\color{red}{2a} + \color{red}{3b}) \cdot (\color{blue}{x} + \color{blue}{5y}) = \color{red}{2a} \cdot \color{blue}{x} + \color{red}{2a} \cdot \color{blue}{5y} + \color{red}{3b} \cdot \color{blue}{x} + \color{red}{3b} \cdot \color{blue}{5y}\]

Aufgabe 1

Multipliziere aus.













Aufgabe 2

Ergänze die Klammer so, dass die Summe stimmt.