Kreisfläche

Der Kreisfläche auf der Spur - ein Versuchsaufbau

Der folgende “mathematische Versuchsaufbau” soll dir helfen, die Formel für den Flächeninhalt des Kreises herzuleiten und zu verstehen. Probiere also aus, was passiert, wenn du an den gegebenen “Stellschrauben drehst” (also die Schieberegler bedienst).

Solltest du Schwierigkeiten bei der Beantwortung der beiden Fragen aus dem “Versuchsaufbau” haben, gibt es hier noch drei Tipps:

Erhöht man die Anzahl der Kreisteile immer mehr, nähert sich die neu angeordnete Fläche einem Rechteck an. Was sind Länge und Breite dieses Rechtecks?

Die Breite des Rechtecks kann man im “Versuchsaufbau” ablesen. Sie entspricht dem Radius \(r\) des Kreises. Die Länge des Rechteck muss der halbe Kreisumfang sein. Warum?

Setze die gefundenen Größen:

• Breite des Rechtecks: \(r\) und
• Länge des Rechtecks: \({1 \over 2} \cdot U = {1 \over 2} \pi \cdot 2r\)

in die Formel zur Berechung des Flächeninhaltes eines Rechtecks ein und vereinfache diese.

Versuchsprotokoll

Zunächst zerteilt man den Kreis in gleich große (Kuchen-) Stücke.

Diese ordnet man neu an: Man legt sie so nebeneinander, so dass sie eine annähernd parallelogrammförmige Fläche ergeben. Je größer die Anzahl der Kreisteile wird, desto mehr nähert sich die Fläche einem Rechteck an. Würde man den Kreis in unendlich viele Teile zerschneiden, ergäbe sich schließlich tatsächlich ein Rechteck.

Den Flächeninhalt dieses Rechtecks kann man nun mit der bekannten Formel \(A=l \cdot b\) berechnen. Die Breite des Rechtecks entspricht dabei dem Radius \(r\), seine Länge dem halben Kreisumfang \({1 \over 2} \cdot U= {1 \over 2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r =\pi \cdot r\).

Ergebnis

Damit ergibt sich für die Kreisfläche folgende Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes:

\[\begin{align} A &= Länge \cdot Breite\\ {}\\ A &= {1 \over 2} \cdot U \cdot r\\ {}\\ A & ={1 \over 2} \cdot \pi \cdot 2 \cdot r \cdot r\\ {}\\ A & = {1 \over 2} \cdot 2 \cdot \pi \cdot r²\\ {}\\ A &= \pi \cdot r² \end{align}\]

Für den Flächeninhalt eines Kreises gilt also: \(\quad A= \pi \cdot r²\)