Aufgaben

Aufgabe 1

Berechne die fehlende Größe des Parallelogramms.

	a)	b)	c)
Grundseite g	5 cm		90 mm
Höhe h	3 cm	25 cm
Flächeninhalt A		625 cm²	72 cm²

Die fehlende Größe des Parallelogramms lautet:

	a)	b)	c)
Grundseite g	3 cm	25cm	8cm
Höhe h	6 cm	30 cm	8cm
Flächeninhalt A	15 cm²	24 cm²	12 cm²

Rechnungen:

a)

\[\begin{align} A &= g \cdot h \\ {}\\ A &= 5 cm \cdot 3 cm \quad\quad\quad \\ {}\\ A &= 15 cm² \end{align}\]

b)

\[\begin{align} A \quad &= g \cdot h \\ {}\\ 625 cm² &= g \cdot 25cm \quad | : 25 cm\quad\quad\quad\\ {}\\ 25 cm &= g \end{align}\]

c)

\[ \begin{align} A\quad &= g \cdot h \\ {}\\ 72 cm² &= 90mm \cdot h\\ {}\\ 72 cm² &= 9cm \cdot h \quad |:9cm\\ {}\\ 8cm &= h \end{align}\]

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Aufgabe 2

Frau Dischinger behauptet:

“Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ändert sich nicht, wenn man eine Grundseite halbiert und die zugehörige Höhe verdoppelt.”

Stimmt das? Begründe deine Antwort.

Ja, das stimmt!

Begründung:

Die Grundseite \(g\) wird halbiert, das heißt, man erhält eine neue Grundseite \(g_{neu}\), die halb so lang ist, wie die alte Grundseite \(g\), also: \(g_{neu}={1 \over 2} \cdot g\). Gleichzeitig wird die Höhe \(h\) verdoppelt, das heißt man erhält eine neue Höhe \(h_{neu}\), die zweimal so lang ist, wie die alte Höhe \(h\), also \(h_{neu}= 2 \cdot h\).

Damit ergibt sich für den neuen Flächeninhalt: \[\begin{align} A_{neu} &= g_{neu} \cdot h_{neu} = \\ {}\\ & = {1 \over 2} \cdot g \cdot 2 \cdot h =\\ {}\\ & = {1 \over 2} \cdot 2 \cdot g \cdot h =\\ {}\\ &= g \cdot h = A \end{align}\]

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Aufgabe 3

Ein Rechteck und ein Parallelogramm haben die gleiche Grundseite. Was weißt du über das Parallelogramm, wenn der Flächeninhalt des Rechtecks doppelt so groß ist wie der des Parallelogramms? Erläutere.

Wenn der Flächeninhalt des Rechtecks doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt des Parallelogramms (\(A_R = 2 \cdot A_P\)) und die eine Seite des Rechtecks genauso lang ist wie die Grundseite des Parallelogramms (\(l=g\)), dann muss die andere Rechtecksseite doppelt so lang sein wie Höhe des Parallelogramms (\(b=2h\)).

Was natürlich genau das Gleiche ist, wie zu sagen, dass die Höhe des Parallelogramms halb so lang sein muss wie die andere Rechtecksseite (\(h={1 \over 2} \cdot b\)).

Erläuterung

Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: \(\quad\quad\quad\quad A_{R}= Länge \cdot Breite = l \cdot b\).

Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt: \(\quad\quad A_{P} = Grundseite \cdot Höhe = g \cdot h\)

Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:

\[\begin{align} &1. \quad A_{R} = 2 \cdot A_{P} \\ {}\\ &2. \quad l = g \end{align}\]

Damit muss \(b= 2 \cdot h\) sein oder, wenn man die Gleichung durch \(2\) dividiert, \(h={1 \over 2} \cdot b\).

Denn: \[\begin{align} \underbrace{A_R}_{=l \cdot r} &= 2 \cdot A_{P}= 2 \cdot g \cdot h = 2 \cdot l \cdot h = l \cdot (2h)\\ {}\\ \Leftrightarrow \quad l \cdot b &= l \cdot (2h) \quad\quad |:l\\ {}\\ b &= 2h \quad\quad |:2 \\ {}\\ {1 \over 2} b &= h \end{align}\]

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Aufgabe 4 - Zusatzaufgabe

Berechne die fehlende Größe im Parallelogramm.

	a)	b)	c)	d)	e)	f)
Grundseite g		\(9\;mm\)		\(5,3\;cm\)		\(625\;mm\)
Höhe h	\(2,3\;cm\)		\(3,2\;cm\)		\(8,5\;m\)
Flächeninhalt A	\(6,9\;cm^2\)	\(108\;mm^2\)	\(22,4\;cm^2\)	\(424\;mm^2\)	\(131,75\;m^2\)	\(0,09\;m^2\)

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Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe

Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem und ermittle dann den Flächeninhalt. Wähle als Achseneinteilung 2 Kästchen = 1 Einheit.

1. A(8|1); B(12|1); C(8|5); D(4|5)

2. A(8|4); B(10|7); C(8|10); D(6|7)