Terme aufstellen

Einen Term oder eine Gleichung aufstellen bedeutet, dass man einen in einem Text (z.B. einer Textaufgabe) oder durch eine Situation gegebenen mathematischen Zusammenhang in der Sprache der Mathematik notiert.

Du hast schon viele derartige Aufgaben gesehen und gelöst. Hier ein paar alte und neue Beispiele:


Zahlenrätsel (5. Klasse)

Ich denke mir eine Zahl. Wird sie verdoppelt, ergibt das 64: \(\quad \color{blue}{x} \cdot \color{red}{2} = \color{green}{64}\)

Ich denke mir eine Zahl. Addiert man 5 und multipliziert die Summe mit 4 ergibt das 36: \(\quad \color{orange}{(}\color{magenta}{x}\color{purple}{+}\color{blue}{5}\color{orange}{)}\color{red}{\cdot}\color{green}{4}=\color{#960018}{36}\)


Altersrätsel (7. Klasse)

Lea ist zwei Jahre jünger als Tim: \(\quad \color{red}{l}=\color{green}{t}-\color{blue}{2}\)

Anna ist dreimal so alt wie Max: \(\quad \color{red}{a}=\color{blue}{3} \cdot \color{green}{m}\)


Geometrieaufgaben (8. Klasse)

Die Höhe eines Parallelogramms ist fünfmal so lang wie seine Grundseite: \(\quad \color{blue}{h}=\color{red}{5} \cdot \color{green}{g}\)

Die längere Seite eines Rechtecks ist um 25 Meter länger als die kürzere Seite des Rechtecks: \(\quad \color{magenta}{l}=\color{purple}{b} \color{red}{+} \color{blue}{25\;m}\)

Was tun, wenn ein Term nicht genug ist?

Zur Lösung der Zahlenrätsel genügt die eine Gleichung, die oben aufgstellt wurde. Die beiden Zahlenrätsel kann man nun eindeutig lösen.

Leider gilt das für die Altersrätsel und die Geometrieaufgaben nicht. Bisher weiß man beispielsweise nur, dass Lea zwei Jahre jünger ist als Tim. Tim könnte also 5 Jahre alt sein und Lea wäre dann 3. Oder Tim ist 6 Jahre alt und Lea 4. Oder, oder, oder. Auf die Frage, wie alt Lea ist, kann man also nur eine vorläufige Antwort geben.

In all diesen Fällen braucht man noch eine weitere Angabe zur Bestimmung einer eindeutigen Lösung.


Altersrätsel

Lea ist zwei Jahre jünger als Tim. Zusammen sind sie 10 Jahre alt.

  1. Vorläufige Antwort: \(\quad \color{red}{l}=\color{green}{t}-\color{blue}{2}\)

  2. Bestimmungsgleichung: \(\quad \color{red}{l} + \color{green}{t} = 10\)

  3. Die vorläufige Antwort in die Bestimmungsgleichung einsetzten: \(\quad \underbrace{\color{green}{t}-\color{blue}{2}}_{=\color{red}l} + \color{green}{t} = 10\)

Anna ist dreimal so alt wie Max. In drei Jahren wird Anna doppelt so alt sein wie Max dann ist.

  1. Vorläufige Antwort: \(\quad \color{red}{a}=\color{blue}{3} \cdot \color{green}{m}\)

  2. Bestimmungsgleichung: \(\quad \color{red}{a+3}= 2 \cdot \color{green}{(m+3)}\)

  3. Die vorläufige Antwort in die Bestimmungsgleichung einsetzten: \(\quad \underbrace{\color{blue}{3} \cdot \color{green}{m}}_{=\color{red}a} \color{red}{+3}= 2 \cdot \color{green}{(m+3)}\)


Geometrieaufgaben

Die Höhe eines Parallelogramms ist fünfmal so lang wie seine Grundseite. Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt \(80\;cm^2\).

  1. Vorläufige Antwort: \(\quad \color{blue}{h}=\color{red}{5} \cdot \color{green}{g}\)

  2. Bestimmungsgleichung: \(\quad 80\;cm^2 = g \cdot h\)

  3. Die vorläufige Antwort in die Bestimmungsgleichung einsetzten: \(\quad 80\;cm^2 = g \cdot \underbrace{\color{red}{5} \cdot \color{green}{g}}_{=\color{blue}h}\)

Die längere Seite eines Rechtecks ist um 25 Meter länger als die kürzere Seite des Rechtecks. Das Rechteck hat einen Umfang von 330 Metern.

  1. Vorläufige Antwort: \(\quad \color{magenta}{l}=\color{purple}{b} \color{red}{+} \color{blue}{25\;m}\)

  2. Bestimmungsgleichung: \(\quad 330\;m = 2 \cdot (l+b)\)

  3. Die vorläufige Antwort in die Bestimmungsgleichung einsetzten: \(\quad 330\;m = 2 \cdot (\underbrace{\color{purple}{b} \color{red}{+} \color{blue}{25\;m}}_{=\color{magenta}l}+b)\)

Gesetzmäßigkeiten, die bei Geometrieaufgaben oft genutzt werden

  • Rechteck: \(\quad A=l\cdot b\), \(\quad U=2\cdot (l+b)\)

  • Dreieck: \(\quad A= {1 \over 2} \cdot g \cdot h\)

  • Parallelogramm: \(\quad A=g \cdot h\)

  • Trapez: \(\quad A= {a+c \over 2} \cdot h\)

  • Kreis: \(\quad A=\pi \cdot r^2\), \(\quad U=2 \cdot \pi \cdot r\)

Aufgaben

Aufgabe 1

Herr Professor Hirnschnell, aus Hirnschnell neben Vilshofen, besitzt h Bücher. Herr Professor Kien, der berühmte Sinologe, hat k Bücher angesammelt, die er hin und wieder spazieren tragen muss.

Welche Aussagen werden durch die folgenden Gleichungen gemacht?

  1. \(\quad k=h+2021\)

  2. \(\quad 3 \cdot h = k\)

  3. \(\quad h = {2 \over 5} k +47\)

Aufgabe 2

Vervollständige die Tabelle.

Situation Term Bedeutung von x Bedeutung des Terms
Karl hat für die Hausaufgaben 45 Minuten länger gebraucht als Otto. \(x+45\)
Annas Haare sind dreimal so lang wie Meikes Haare. Annas Haarlänge
Maria hat im Test halb so viele Punkte wie Josef. Sie entdeckt einen Fehler in der Korrektur und bekommt noch zwei Punkte Anzahl der Punkte von Maria
Franz war vor 3 Jahren doppelt so alt wie Gabi heute ist. \(2x+3\)

Aufgabe 3

Welcher Term beschreibt welche Situation? Ordne zu!

Situation Term
A) Sven freut sich. Er hat Gummibärchen. Otto, der Mops, hat doppelt so viele Gummibärchen wie Max und Sven zusammen. Max hat drei Gummibärchen mehr als Sven. A) \(\quad 3x\)
B) Maria und Anna rechnen zusammen Aufgaben. Maria rechnet doppelt soviele Aufgaben wie Anna. B) \(\quad 2x-8\)
C) Franz bekommt nur halb soviel Taschengeld wie Joschi. Er jammert. Deshalb bekommt er ab jetzt 4 Euro mehr. C) \(\quad 4x+6\)

Aufgabe 4

Die Schüler*innen der Klasse 8a sind während ihrer fünftägigen Klassenfahrt ein bisschen gewandert.

Insgesamt haben sie in 5 Tagen 48 Kilometer zurückgelegt. Am zweiten Tag sind sie 2 Kilometer mehr gewandert als am ersten Tag. Am dritten Tag sind sie sogar doppelt so weit gewandert wie am ersten Tag. Am vierten Tag haben sie allerdings einen Kilometer weniger geschafft als am ersten Tag. Am fünften Tag haben sie dann aber wieder 5 Kilometer mehr zurückgelegt.

Wie viele Kilometer sind die Schüler*innen am ersten Tag gewandert?

Verschaffe dir einen Überblick, welche Angaben in der Aufgabe enthalten sind und welche Größe gesucht ist.

Folgende Fragen können dir dabei helfen:

  • Wie viele Tage sind die Schüler*innen insgesamt gewandert?
  • Welche Angabe ist gesucht?
  • Zu welchen Tagen wird etwas über die gelaufenen km gesagt?
  • Wie viele Kilometer sind die Schüler*innen insgesamt gelaufen?

Folgende Informationen solltest du in der Aufgabe gefunden haben:

  • Die Schüler*innen wandern 5 Tage.
  • Gesucht sind die gelaufenen Kilometer am ersten Tag, diese könntest du also mit \(x\) bezeichnen.
  • Zu Tag 2 bis 5 wird etwas über die jeweils gewanderten Kilometer gesagt. Stelle hierzu Terme in Abhängigkeit von x auf.
  • Die Schüler*innen sind insgesamt 48 Kilometer gewandert. Diese Angabe brauchst du für die Bestimmungsgleichung.

Aufgabe 5

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt \(21cm\). Die Basislänge ist um \(3cm\) größer als die Schenkellänge. Wie lang ist die Basis, wie lang sind die Schenkel?

Aufgabe 6

Ein Rechteck ist \(2,5\)-mal so lang wie breit. Sein Umfang beträgt \(33,6cm\). Berechne seinen Flächeninhalt.

Aufgabe 7

Ein Rechteck ist dreimal so lang wie breit. Verkürzt man die längere Seite um \(5cm\) und verlängert gleichzeitig die kürzere Seite um \(5cm\), dann nimmt der Flächeninhalt um \(35cm²\) zu. Wie lang sind die Seiten des ursprünglichen Rechtecks?

Aufgabe 8

Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt \(120m²\). Die beiden Seiten unterscheiden sich um \(7m\). Wie lang sind sie?