Aufgaben

Aufgabe 1

Ein Dreieck habe eine Grundseite \(g\) der Länge 4cm und eine zugehörige Höhe \(h\) der Länge 6cm. Gib die Höhe eines flächengleichen Trapezes mit den parallelen Seiten \(a = 2cm\) und \(c = 4cm\) an.

Gesucht

Die Länge der Höhe eines Trapezes.

Gegeben

Gegeben ist:

  1. Ein Dreieck mit der Grundseite \(g = 4cm\) und der zugehörige Höhe \(h = 6cm\). Dieses Dreieck hat denselben Flächeninhalt wie das Trapez, dessen Höhe gesucht ist.
  2. Die Länge der Seite \(a\) des Trapezes: \(a = 2cm\) und
  3. die Länge der zur Seite \(a\) parallelen Seite \(c\) des Trapezes: \(c= 4cm\).

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man folgendermaßen: \[ A = {1 \over 2} \cdot g \cdot h \]

Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man so: \[ A = {(a+c) \cdot h \over 2} \]

Vorüberlegung

Das Trapez hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Dreieck mit der Grundseite \(g = 4cm\) und der zugehörige Höhe \(h = 6cm\).

Dieses Dreieck den Flächeninhalt: \[ A = {1 \over 2} \cdot g \cdot h = {1 \over 2} \cdot 4 cm \cdot 6 cm = 12 cm² \] Gesucht ist also die Länge der Höhe \(h\) eines Trapezes mit Flächeninhalt 12 cm² und den parallelen Seiten \(a = 2cm\) und \(c = 4cm\).

Einsetzen

Nun setzen wir alle bekannten Größen ein, das führt zu: \[ 12 cm² = {(2cm + 4 cm) \cdot h \over 2} \]

Auflösen

Diese Gleichung muss man nach \(h\) auflösen: \[ \begin{align} 12 cm² &= {(2cm + 4 cm) \cdot h \over 2}\\ {}\\ 12cm² &= {6cm \cdot h \over 2} \\ {}\\ 12cm² &= 3cm \cdot h \quad\quad |:3cm\\ {}\\ 4cm &=h\end{align} \]

Antwort

Die Höhe eines flächengleichen Trapezes muss also 4 cm lang sein.¸

Aufgabe 2

Ein Trapez hat den Flächeninhalt 1m². Die Höhe beträgt 20cm. Gib drei verschiedene Möglichkeiten für die Länge der zueinander parallelen Seiten an.

Gesucht

Die Längen der parallelen Seiten \(a\) und \(c\).

Gegeben

Gegeben ist:

  1. Der Flächeninhalt: \(A=1m²\) und
  2. die Höhe \(h=20cm\)

Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man folgendermaßen: \[A = {(a+c) \cdot h \over 2}\]

Einsetzen

Setzt man nun alle bekannten Größen ein, erhält man folgenden Gleichung: \[1 m² = {(a+c) \cdot 0,2 m \over 2}\]

Auflösen

Diese Gleichung muss man nach \((a+c)\) auflösen: \[\begin{align}1 m² &= {(a+c) \cdot 0,2 m \over 2} \\ {}\\ 1 m² &= (a+c) \cdot 0,1 m \quad\quad\quad |:0,1m\\ {}\\ 10 m &=a+c \end{align}\]

Antwort

Daraus ergeben sich zum Beispiel folgende Längen für die Seiten a und c:

  1. Möglichkeit: Die Seite a ist einen Meter lang, die Seite c neun Meter (denn 1+9=10)

  2. Möglichkeit: Die Seite a ist zwei Meter lang, die Seite c acht Meter (denn 2+8=10)

  3. Möglichkeit: Die Seite a ist drei Meter lang, die Seite c sieben Meter (denn 3+7=10)

Aufgabe 3

Bei einem Trapez beträgt der Flächeninhalt \(A=12cm²\) und die Höhe \(h=1,5cm\). die zu \(a\) parallele Seite \(c\) ist dreimal so lang wie \(a\). Berechne \(a\) und \(c\).

Gesucht

Die Längen der Seiten \(a\) und \(c\).

Gegeben

Gegeben ist:

  1. Der Flächeninhalt: \(A=12cm²\) ,
  2. die Höhe \(h=1,5cm\) und
  3. der Hinweis, dass die Seite \(c\) dreimal so lang ist wie die Seite \(a\), also: \(c= 3 \cdot a\).

Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man folgendermaßen: \[A = {(a+c) \cdot h \over 2}\]

Einsetzen

Setzt man nun alle Angaben ein, erhält man folgenden Gleichung: \[12 cm² = {(a+3a) \cdot 1,5cm \over 2}\]

Auflösen

Diese Gleichung muss man jetzt nach \(a\) auflösen:

\[ \begin{align} 12 cm² &= {(a+3a) \cdot 1,5cm \over 2}\\ {}\\ 12 cm² &= {4a \cdot 1,5 cm \over 2}\\ {}\\ 12 cm² &= {a \cdot 6cm \over 2} \\ {}\\ 12 cm² &= a \cdot 3cm \quad\quad\quad |:3cm \\ {}\\ 4cm &= a \\ {}\\ \Rightarrow a &= 4cm\\ \Rightarrow c &= 3 \cdot a = 3 \cdot 4cm = 12 cm \end{align}\]

Antwort

Die Seite a ist also 4cm lang, die Länge der Seite c beträgt 12cm.

Aufgabe 4

  1. Berechne die Länge der Höhe eines Trapezes mit dem Flächeninhalt \(A=24cm²\) und den parallelen Seiten \(a=6cm\) und \(c=10cm\).
  2. Gib an, wie man allgemein die Höhe eines Trapezes mit dem parallelen Seiten \(a\) und \(c\) berechnen kann, wenn der Flächeninhalt gegeben ist.
    [Mit anderen Worten: Löse die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes nach h auf!]

a)

Gesucht

Gesucht ist die Länge der Höhe \(h\) eines Trapezes.

Gegeben

Gegeben ist:

  1. Der Flächeninhalt: \(A=24cm²\),
  2. die Seite \(a=6cm\) und
  3. die dazu parallele Seite \(c=10cm\).

Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man folgendermaßen: \[ A = {(a+c) \cdot h \over 2} \]

Einsetzen

Nun setzen wir alle bekannten Größen ein, das führt zu: \[ 24 cm² = {(6cm + 10 cm) \cdot h \over 2} \]

Auflösen

Diese Gleichung muss man nach \(h\) auflösen: \[ \begin{align} 24 cm² &= {(6cm + 10 cm) \cdot h \over 2}\\ {}\\ 24cm² &= {16cm \cdot h \over 2} \\ {}\\ 24cm² &= 8cm \cdot h \quad\quad |:8cm\\ {}\\ 3cm &=h\end{align} \]

Antwort

Die Höhe des Trapezes muss also \(3cm\) lang sein.¸

b)

Den Flächeninhalt eines Trapezes berechnet man folgendermaßen: \[ A = {(a+c) \cdot h \over 2} \]

Diese Gleichung muss man nun nach \(h\) auflösen: \[\begin{align} A \quad &= {(a+c) \cdot h \over 2} \quad\quad | \cdot 2\\ {}\\ 2 \cdot A &= (a+c) \cdot h \quad\quad |:(a+c) \\ {}\\ {2 \cdot A} \over {a+c} &= \quad h \end{align}\]

Somit ergibt sich für die Höhe \(h\) folgende Gleichung: \[h = {2 \cdot A \over a+c}\]

Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe

Berechne die fehlenden Größen des Trapezes. Welche Trapeze sind Parallelogramme?


 a) b) c) d) e) f)
a \(5\;m\) \(4\;m\) \(20\;cm\) \(4,6\;cm\) \(60\;cm\)
c \(3\;m\) \(35\;cm\) \(74\;mm\) \(6\;dm\)
h \(6\;m\) \(1\;m\) \(1,2\;m\) \(6\;cm\) \(12\;cm\)
Flächeninhalt A \(20\;m^2\) \(24\;m^2\) \(1\;m^2\) \(0,24\;m^2\)

Aufgabe 6 - Zusatzaufgabe

Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem und ermittle dann den Flächeninhalt. Wähle als Achseneinteilung 2 Kästchen = 1 Einheit.

  1. A(0|4); B(3|4); C(1|8); D(0|8)

  2. A(4|4); B(7|6); C(9|10); D(3|6)