2.1 Bruchrechnung kurz und knapp
Brüche kürzen und erweitern
Einen Bruch \(a \over b\) mit einer Zahl \(c\) erweitern, bedeutet, dass man den Zähler und den Nenner mit \(c\) multipliziert: \(a \over b\) erweitert mit \(c\) ergibt also \(a \cdot c \over b \cdot c\).
Dividiert man Zähler und Nenner eines Bruches \(x \over y\) durch dieselbe Zahl \(z\), sagt man, \(x \over y\) wird mit \(z\) gekürzt.
Ein Bruch \(e \over f\) heißt vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind. \(2 \over 3\) oder \(1 \over 4\) sind beispielsweise vollständig gekürzt. \(9 \over 15\) dagegen nicht, da man sowohl \(9\) als auch \(15\) durch \(3\) dividieren kann.
Aufgabe
Brüche in Dezimalzahlen oder Prozentangaben umwandeln
Möchte man einen Bruch als Dezimalzahl schreiben, muss man den Zähler (schriftlich oder mit Hilfe des Taschenrechners) durch den Nenner dividieren.
Eine Dezimalzahl kann man nun wiederum sehr einfach auch als Prozentzahl angeben: Man verschiebt einfach das Komma um zwei Stellen nach rechts und schreibt hinter die auf diese Weise entstandene Zahl ein %-Zeichen.
Aufgabe
Mit Brüchen rechnen
Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. \[{a \over b} \cdot {c \over d} = {a \cdot c \over b \cdot d} \]
Durch einen Bruch wird dividiert, indem mit seinem Kehrbruch multipliziert wird. \[{e \over f} : {x \over y} = {e \cdot y \over f \cdot x}\]
Sollen zwei Brüche addiert oder subtrahiert werden, muss man sie zunächst auf den gleichen Nenner bringen. Anschließend addiert bzw. subtrahiert man die Zähler.
\[{m \over n}+{p \over q} = \frac{m \cdot q}{n \cdot q} + \frac{p \cdot n}{q \cdot n} = {m \cdot q + n \cdot p \over n \cdot q}\] \[{m \over n}-{p \over q} = \frac{m \cdot q}{n \cdot q} - \frac{p \cdot n}{q \cdot n} = {m \cdot q - n \cdot p \over n \cdot q}\]