Parallelogramm
Flächeninhalt des Parallelogramms:
\[A = g \cdot h\]
Umfang des Parallelogramms \[U = a + b + c + d\]
Was heißt das doch gleich?
Hier einmal in Worten: Den Flächeninhalt \(A\) eines Parallelogramms erhältst du, indem du die Länge der Höhe \(h\) mit der Länge der Grundseite \(g\) multiplizierst. Dabei ist es wichtig, dass die Höhe und die Grundseite auch “zusammengehören”. Die Höhe \(h\) im obigen Beispiel gehört zur Grundseite \(g\), weil sie auf dieser senkrecht steht.
Aufgaben
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Aufgabe 1
Berechne die fehlende Größe des Parallelogramms.
| a) | b) | c) | |
|---|---|---|---|
| Grundseite g | 5 cm | 90 mm | |
| Höhe h | 3 cm | 25 cm | |
| Flächeninhalt A | 625 cm² | 72 cm² |
Die fehlende Größe des Parallelogramms lautet:
| a) | b) | c) | |
|---|---|---|---|
| Grundseite g | 3 cm | 25cm | 8cm |
| Höhe h | 6 cm | 30 cm | 8cm |
| Flächeninhalt A | 15 cm² | 24 cm² | 12 cm² |
Rechnungen:
\[\begin{align} a) \quad\quad A &= g \cdot h \\ {}\\ A &= 5 cm \cdot 3 cm = 15 cm² \quad \end{align}\]
\[\begin{align} b) \quad\quad A\quad &= g \cdot h \\ {}\\ 625 cm² &= g \cdot 25cm \quad\quad | : 25 cm\quad\\ {}\\ 25 cm &= g \end{align}\]
\[ \begin{align} c) \quad\quad A\quad &= g \cdot h \\ {}\\ 72 cm² &= 90mm \cdot h\\ {}\\ 72 cm² &= 9cm \cdot h \quad\quad |:9cm\\ {}\\ 8cm &= h \end{align}\]
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Aufgabe 2
Frau Dischinger behauptet:
“Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ändert sich nicht, wenn man eine Grundseite halbiert und die zugehörige Höhe verdoppelt.”
Stimmt das? Begründe deine Antwort.
Ja, das stimmt!
Begründung:
Die Grundseite \(g\) wird halbiert, das heißt, man erhält eine neue Grundseite \(g_{neu}\), die halb so lang ist, wie die alte Grundseite \(g\), also: \(g_{neu}={1 \over 2} \cdot g\). Gleichzeitig wird die Höhe \(h\) verdoppelt, das heißt man erhält eine neue Höhe \(h_{neu}\), die zweimal so lang ist, wie die alte Höhe \(h\), also \(h_{neu}= 2 \cdot h\).
Damit ergibt sich für den neuen Flächeninhalt: \[\begin{align} A_{neu} &= g_{neu} \cdot h_{neu} = \\ {}\\ & = {1 \over 2} \cdot g \cdot 2 \cdot h =\\ {}\\ & = {1 \over 2} \cdot 2 \cdot g \cdot h =\\ {}\\ &= g \cdot h = A \end{align}\]
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Aufgabe 3
Ein Rechteck und ein Parallelogramm haben die gleiche Grundseite. Was weißt du über das Parallelogramm, wenn der Flächeninhalt des Rechtecks doppelt so groß ist wie der des Parallelogramms? Erläutere.
Wenn der Flächeninhalt des Rechtecks doppelt so groß ist wie der Flächeninhalt des Parallelogramms (\(A_R = 2 \cdot A_P\)) und die eine Seite des Rechtecks genauso lang ist wie die Grundseite des Parallelogramms (\(l=g\)), dann muss die andere Rechtecksseite doppelt so lang sein wie Höhe des Parallelogramms (\(b=2h\)).
Was natürlich genau das Gleiche ist, wie zu sagen, dass die Höhe des Parallelogramms halb so lang sein muss wie die andere Rechtecksseite (\(h={1 \over 2} \cdot b\)).
Erläuterung
Für den Flächeninhalt eines Rechtecks gilt: \(\quad\quad\quad\quad A_{R}= Länge \cdot Breite = l \cdot b\).
Für den Flächeninhalt eines Parallelogramms gilt: \(\quad\quad A_{P} = Grundseite \cdot Höhe = g \cdot h\)
Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:
\[\begin{align} &1. \quad A_{R} = 2 \cdot A_{P} \\ {}\\ &2. \quad l = g \end{align}\]
Damit muss \(b= 2 \cdot h\) sein oder, wenn man die Gleichung durch \(2\) dividiert, \(h={1 \over 2} \cdot b\).
Denn: \[\begin{align} \underbrace{A_R}_{=l \cdot r} &= 2 \cdot A_{P}= 2 \cdot g \cdot h = 2 \cdot l \cdot h = l \cdot (2h)\\ {}\\ \Leftrightarrow \quad l \cdot b &= l \cdot (2h) \quad\quad |:l\\ {}\\ b &= 2h \quad\quad |:2 \\ {}\\ {1 \over 2} b &= h \end{align}\]
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