Die binomischen Formeln sind Spezialfälle der Multiplikation von zwei Summen. Merkt man sich diese drei Formeln, spart man sich oft zwei Zwischenschritte. Damit ist man schneller und macht (hoffentlich) weniger Fehler.
Die 1. binomische Formel
\[(\color{blue}{a}+\color{red}{b})^2= \color{blue}{a}^2 +2\color{blue}{a}\color{red}{b} + \color{red}{b}^2\]
Die 2. binomische Formel
\[(\color{blue}{a}-\color{red}{b})^2= \color{blue}{a}^2 -2\color{blue}{a}\color{red}{b} + \color{red}{b}^2\]
Die 3. binomische Formel
\[(\color{blue}{a}+\color{red}{b})(\color{blue}{a}-\color{red}{b}) = \color{blue}{a}^2 - \color{red}{b}^2\]
Aufgaben
Aufgabe 1
Wende die erste binomische Formel an.
\((18u+9a)^2\)
\((6+22b)^2\)
\((13+11d)^2\)
\((16l+11r)^2\)
\((24n+5w)^2\)
\((14+16s)^2\)
\((8f+14z)^2\)
\((h+13i)^2\)
\((17n+13r)^2\)
\((11b+4p)^2\)
\((3+18w)^2\)
\((20i+24h)^2\)
\((20r+8i)^2\)
\((c+5d)^2\)
\((7+19x^2)^2\)
\((22s+9fs)^2\)
\(484s^2+396fs^2+81f^2s^2\)
\((22b+2l^2)^2\)
\((15vw+17a)^2\)
\(225v^2w^2+510avw+289a^2\)
\((4le+7el)^2\)
\((2t^2+23t)^2\)
\((18h^3+13n)^2\)
\(324h^6+468h^3n+169n^2\)
\((13+16m^4)^2\)
\((10l+7lp)^2\)
\(100l^2+140l^2p+49l^2p^2\)
\((6p+ {7 \over p})^2\)
\(36p^2+ 84 +{49 \over p^2}\)
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Aufgabe 2
Wende die zweite binomische Formel an.
\((2h-15k)^2\)
\((6z-5b)^2\)
\((22i-19w)^2\)
\(((-18c)+19h)^2\)
\(((-15m)+24a)^2\)
\(((-13u)-7l)^2\)
\((14e-c^2)^2\)
\((-3x+3s)^2\)
\((22-25s)^2\)
\(((-10s)+13qs)^2\)
\(100s^2-260qs^2+169q^2s^2\)
\(((-24w)+8z)^2\)
\((21b-24z)^2\)
\((16v^2+6)^2\)
\((7t-6do)^2\)
\((e-12r)^2\)
\(((-w)+24b)^2\)
\((15m-25)^2\)
\(((-6)-22h)^2\)
\(((-10j)+2q)^2\)
\((19l-12t)^2\)
\((12w^2-3h^2)^2\)
\(((-8q)-18c)^2\)
\(((-15e)-{1,4 \over e})^2\)
\(225e^2+42+{1,96 \over e^2}\)
\((6p- {7 \over p})^2\)
\(36p^2- 84 +{49 \over p^2}\)
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Aufgabe 3
Wende die dritte binomische Formel an.
\((8u+9a)(8u-9a)\)
\((2a+22b)(2a-22b)\)
\((13d+11)(13d-11)\)
\((15k+12r)(15k-12r)\)
\((24v+7w)(24v-7w)\)
\((16s+14t)(16s-14t)\)
\(({1 \over 8}f+{3\over 7}e)({1 \over 8}f-{3\over 7}e)\)
\({1 \over 64}f^2-{9 \over 49}e^2\)
\((3h+13i)(3h-13i)\)
\(({5 \over 6} n + 2g)({5 \over 6} n - 2g)\)
\({25 \over 36} n^2 - 4g^2\)
\((11b-4p)(11b+4p)\)
\((3a+17b)(3a-17b)\)
\((7g+0,4h)(7g-0,4h)\)
\((20r+8i)(20r-8i)\)
\(({1 \over 2}+b)({1 \over 2}-b)\)
\((7+19x^2)(7-19x^2)\)
\((21t+9ft)(21t-9ft)\)
\((12b+2l^2)(12b-2l^2)\)
\((13vw+16a)(13vw-16a)\)
\((42da+7ad)(42da-7ad)\)
\((2t^2+11t)(2t^2-11t)\)
\((6h^3+13n)(6h^3-13n)\)
\((5+16m^4)(5-16m^4)\)
\((10l+7lp)(10l-7lp)\)
\(({10 \over 11}+{7 \over p})({10 \over 11}-{7 \over p})\)
\({100 \over 121} - {49 \over p^2}\)
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Aufgabe 4
Wende eine passende binomische Formel an.
\((1,8j-23g)^2\)
\(3,24j^2-82,8gj+529g^2\)
\((1,8j+23g)(1,8j-23g)\)
\((7u-1,3)^2\)
\((2,1i+9q)^2\)
\((2,4n-1,6f)^2\)
\(5,76n^2-7,68fn+2,56f^2\)
\((-0,5j+0,5l)^2\)
\(0,25j^2-0,5jl+0,25l^2\)
\((10h+1,4z)^2\)
\((1,2x+6h)^2\)
\((2,2t-1,3u)^2\)
\(4,84t^2-5,72tu+1,69u^2\)
\((-0,15+2,4u)^2\)
\((0,23t-11g)^2\)
\(0,0529t^2-5,06gt+121g^2\)
\((10k+{3 \over 4}w)(10k-{3 \over 4}w)\)
\(100k^2-{9 \over 16}w^2\)
\(({18 \over 19}v+{7 \over 19})^2\)
\({324\over 361}v^2+{252 \over 361}v+{49 \over 361}\)
\((-{12 \over 7}-{3 \over 5}m)^2\)
\({144 \over 49}+{72\over 35}m+{9 \over 25}m^2\)
\((-{1\over 3}n+{21 \over 11}l)^2\)
\({1 \over 9}n^2 -{14 \over 11}ln + {441\over 121}l^2\)
\(({10 \over 11} + {1 \over 2}n)^2\)
\({100 \over 121}+{10 \over 11}n+{1 \over 4}n^2\)
\((2m-{1\over 22}b)(2m+{1\over 22}b)\)
\(4m^2-{1 \over 484}b^2\)
\(({1 \over 6}n-{2 \over 3}g)^2\)
\({1 \over 36}n^2 - {2 \over 9}gn + {4 \over 9}g^2\)
\(({1 \over 2} +b)({1 \over 2}-b)\)
\((-{1 \over 7}s-{5 \over 8}g)^2\)
\({1 \over 49}s^2 + {5 \over 28}gs + {25 \over 64}g^2\)
\(({4 \over 7}n-{5 \over 9})^2\)
\({16 \over 49}n^2-{40 \over 63}n+{25 \over 81}\)
\((-{2 \over 3}a-{3 \over 4}b)(-{2 \over 3}a+{3 \over 4}b)\)
\({4 \over 9}a^2-{9 \over 4}b^2\)
\(({8 \over 9}r+{1 \over 5}b)^2\)
\({64 \over 81}r^2+{16\over 45}br+{1 \over 25}b^2\)
\((-{2 \over 3}r+{3 \over 4}r)^2\)
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Aufgabe 5
Wende eine passende binomische Formel an, um die Summe als Produkt zu schreiben.
\(4r^2-12rx+9x^2\)
\(121z^2+374uz+289u^2\)
\(4b^2-36bc+81c^2\)
\(k^2-46gk+529g^2\)
\(324j^2+432j+144\)
\(400c^2-1000cg+625g^2\)
\(196a^2+56a+4\)
\(2,25r^2+15rs+25s^2\)
\(16s^4+11,2s^2w+1,96w^2\)
\(0,16g^2+8gn+100n^2\)
\(0,09y^4-2,4y^2z+16z^2\)
\(4w^4+8,4w^2f^2+4,41f^4\)
\(0,81d^4-16,2d^2l+81l^2\)
\(400y^4-92y^2k^2+5,29k^4\)
\({1 \over 4}t^2-{6 \over 7}tx+{36 \over 49}x^2\)
\(({1 \over 2}t-{6 \over 7}x)^2\)
\({16 \over 81}g^2-{16 \over 45}ga+{4 \over 25}a^2\)
\(({4 \over 9}g-{2 \over 5}a)^2\)
\({1 \over 81}h^2+{4 \over 27}hv+{4 \over 9}v^2\)
\(({1 \over 9}h+{2 \over 3}v)^2\)
\({9 \over 16}y^2-{2 \over 3}ys+{16 \over 81}s^2\)
\(({3 \over 4}y-{4 \over 9}s)^2\)
\({1 \over 4}i^2-{4 \over 5}in+{16 \over 25}n^2\)
\(({1 \over 2}i-{4 \over 5}n)^2\)
\({1 \over 16}r^2-{5 \over 16}ir+{25 \over 64}i^2\)
\(({1 \over 4}r-{5 \over 8}i)^2\)
\({49 \over 64}i^2-{35 \over 36}gi+{25 \over 81}g^2\)
\(({7 \over 8}i-{5 \over 9}g)^2\)
\({25 \over 49}r^2+{10 \over 9}r+{49 \over 81}\)
\(({5 \over 7}r+{7 \over 9})^2\)
\({4 \over 81}g^2-{20 \over 63}gh+{25 \over 49}h^2\)
\(({2 \over 9}g-{5 \over 7}h)^2\)
\({1 \over 4}j^2+{5 \over 6}ju+{25 \over 36}u^2\)
\(({1 \over 2}j+{5 \over 6}u)^2\)
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Aufgabe 6
Ergänze die Summe um einen Summanden so, dass du sie mit Hilfe der ersten oder zweiten binomischen Formel in ein Produkt umwandeln kannst. Schreibe die geschickt ergänzte Summe anschließend als Produkt.
\(9+576b^2\)
\(9-144b+576b^2=(3-24b)^2\)
\(400k^2+324y^2\)
\(400k^2+720ky+324y^2=(20k+18y)^2\)
\(44pt+484t^2\)
\(p^2+44pt+484t^2=(p+22t)^2\)
\(225b^2-90bc\)
\(225b^2-90bc+9c^2=(15b-3c)^2\)
\(46i+529\)
\(16w^2+64l^2\)
\(16w^2+64wl+64l^2=(4w+8l)^2\)
\(2,56+5,29d^2\)
\(2,56+7,36d+5,29d^2=(1,6+2,3d)^2\)
\(100g^2-36gq\)
\(100g^2-36gq+3,24q^2=(10g-1,8q)^2\)
\(5,72fl+1,69f^2\)
\(4,84l^2+5,72fl+1,69f^2=(2,2l+1,3f)^2\)
\(-10,4sz+16z^2\)
\(1,69s^2-10,4sz+16z^2=(1,3s-4z)^2\)
\(4,41n^2+2,25d^2\)
\(4,41n^2-6,3dn+2,25d^2=(2,1n-1,5d)^2\)
\(0,81e^2-10,8be\)
\(0,81e^2-10,8be+36b^2=(0,9e-6b)^2\)
\({1 \over 14}tz+{25 \over 196}z^2\)
\({1 \over 100}t^2+{1 \over 14}tz+{25 \over 196}z^2=({1 \over 10}t+{5 \over 14}z)^2\)
\({16 \over 81}d^2-{2 \over 9}dq\)
\({16 \over 81}d^2-{2 \over 9}dq+{1 \over 16}q^2=({4 \over 9}d-{1 \over 4}q)^2\)
\({49 \over 256}v^2+{7 \over 18}vt\)
\({49 \over 256}v^2+{7 \over 18}vt+{16 \over 81}t^2=({7 \over 16}v+{4 \over 9}t)^2\)
\({4 \over 5}w+{1 \over 4}w^2\)
\({16 \over 25}+{4 \over 5}w+{1 \over 4}w^2=({4 \over 5}+{1 \over 2}w)^2\)
\({36 \over 169}s^2+{25 \over 64}p^2\)
\({36 \over 169}s^2+{15 \over 26}sp+{25 \over 64}p^2=({6 \over 13}s+{5 \over 8}p)^2\)
\({36 \over 121}y^2+{25 \over 49}a^2\)
\({36 \over 121}y^2+{60 \over 77}ya+{25 \over 49}a^2=({6 \over 11}y+{5 \over 7}a)^2\)
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